Progression géométrique
Une progression géométrique, ou suite géométrique, est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un même nombre, appelé raison de la progression. Par exemple, 3, 6, 12, 24, 48 est une progression géométrique de premier terme 3 et de raison 2.
Définition et terme général
Si l’on note A le premier terme et r la raison, les termes successifs sont A, A × r, A × r², A × r³, et ainsi de suite. Le terme de rang n, en comptant le premier comme rang 1, vaut :
A × rn−1.
Le comportement de la suite dépend de la raison. Si r est supérieur à 1, les termes (positifs) croissent de plus en plus vite. Si r est compris entre 0 et 1, ils décroissent et se rapprochent de zéro. Si r est négatif, les termes changent de signe à chaque étape.
On la distingue de la progression arithmétique, où l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, et non en multipliant.
Somme des n premiers termes
La somme des n premiers termes d’une progression géométrique de premier terme A et de raison r, différente de 1, est égale à :
S = A × (1 − rn) / (1 − r).
Si la raison vaut 1, tous les termes sont égaux à A et la somme vaut simplement n × A. Par exemple, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 1 × (1 − 25) / (1 − 2) = 31.
Somme infinie
Lorsque la raison est strictement comprise entre −1 et 1, rn se rapproche de zéro quand n devient très grand. La somme de tous les termes de la suite tend alors vers une valeur finie :
S = A / (1 − r).
Ainsi, 1/2 + 1/4 + 1/8 + … tend vers 1. Si la raison est supérieure ou égale à 1 en valeur absolue, la somme infinie n’a pas de valeur finie.
Applications en finance et en gestion
Les progressions géométriques sont omniprésentes en mathématiques financières :
- les intérêts composés : un capital C placé au taux i par période devient C × (1 + i)n au bout de n périodes, ce qui forme une progression géométrique de raison 1 + i ;
- la valeur actuelle d’annuités constantes : la somme des versements actualisés est une somme géométrique, d’où la formule a × (1 − (1 + i)−n) / i utilisée pour calculer les mensualités d’un emprunt ;
- la croissance à taux constant : un chiffre d’affaires, une population ou des prix qui augmentent d’un même pourcentage chaque année suivent une progression géométrique ;
- l’amortissement dégressif, où la base amortissable diminue chaque année d’un même pourcentage.
Pour retrouver le nombre de périodes nécessaire à atteindre une valeur donnée, par exemple le temps de doublement d’un capital, on utilise les logarithmes.
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