Progression arithmétique
Une progression arithmétique, appelée aussi suite arithmétique, est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un même nombre, appelé la raison de la progression. Ainsi 3, 7, 11, 15, 19 forment une progression arithmétique de raison 4 : on passe d’un terme au suivant en ajoutant 4.
La raison peut être positive, et la suite croît ; négative, et la suite décroît ; ou nulle, et tous les termes sont égaux. La suite 100, 90, 80, 70 est une progression arithmétique de raison −10.
Définition et terme général
Notons u1 le premier terme et r la raison. La définition s’écrit u(n+1) = u(n) + r pour tout rang n. On en déduit la valeur de n’importe quel terme sans calculer tous ceux qui le précèdent :
- u(n) = u1 + (n − 1) × r si l’on numérote les termes à partir de 1 ;
- u(n) = u0 + n × r si l’on numérote les termes à partir de 0.
Dans la progression 3, 7, 11, 15…, le 20e terme vaut donc 3 + 19 × 4 = 79.
Pour savoir si une suite donnée est arithmétique, on calcule la différence entre deux termes consécutifs : si elle reste toujours la même, la suite est arithmétique et cette différence est sa raison. Chaque terme est aussi la moyenne de ses deux voisins, u(n) = (u(n−1) + u(n+1)) / 2, ce qui explique le nom de moyenne arithmétique donné à ce calcul.
Somme des termes d’une progression arithmétique
La somme des n premiers termes est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme :
S(n) = n × (u1 + u(n)) / 2
En remplaçant le dernier terme par son expression, on obtient une formule qui ne dépend que du premier terme A, de la raison r et du nombre de termes n :
S(n) = n × A + n × (n − 1) / 2 × r
La somme des dix premiers termes de 3, 7, 11… vaut ainsi 10 × (3 + 39) / 2 = 210, ou encore 10 × 3 + 45 × 4 = 210. Le cas le plus connu est la somme des entiers de 1 à n, progression de raison 1 : 1 + 2 + … + n = n × (n + 1) / 2, soit 5 050 pour les entiers de 1 à 100.
La formule se démontre en écrivant la somme deux fois, une fois dans l’ordre croissant et une fois dans l’ordre décroissant. En additionnant les deux lignes terme à terme, chaque colonne donne la même valeur, le premier terme plus le dernier ; on obtient n fois cette valeur, qui est le double de la somme cherchée.
Usages en comptabilité et en finance
Plusieurs calculs courants de la comptabilité suivent une progression arithmétique, parce qu’une même somme y est ajoutée ou retirée à chaque période.
- Les intérêts simples : un capital C placé au taux annuel t rapporte chaque année le même intérêt, C × t. La valeur acquise au bout de n années, C × (1 + n × t), forme une progression arithmétique de premier terme C et de raison C × t. Placés à 3 % en intérêts simples, 1 000 € deviennent 1 030 €, puis 1 060 €, puis 1 090 €.
- L’amortissement linéaire : un bien amorti en mode linéaire perd chaque exercice la même somme, la base amortissable divisée par la durée d’utilisation. Pour un matériel de 10 000 € acquis en début d’exercice, amorti sur 5 ans et sans valeur résiduelle, la valeur nette comptable passe à 8 000, 6 000, 4 000, 2 000 puis 0 € : une progression de raison −2 000.
- L’emprunt remboursé par amortissements constants : la même part de capital est remboursée à chaque échéance, si bien que le capital restant dû, les intérêts de chaque période et les annuités diminuent tous en progression arithmétique.
Lorsque les intérêts s’ajoutent au capital pour produire à leur tour des intérêts, on parle d’intérêts composés et la croissance devient multiplicative. Le calcul relève alors de la progression géométrique, dans laquelle chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un même nombre.
Vidéo : progression arithmétique
Vidéo pour tout savoir sur la progression arithmétique.
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