Courbe de Gauss
La courbe de Gauss, appelée aussi courbe de Laplace-Gauss ou courbe en cloche, est la représentation graphique de la loi normale, la plus célèbre des distributions de probabilité. Symétrique, elle culmine à la valeur moyenne et s’abaisse de part et d’autre : les valeurs proches de la moyenne sont les plus fréquentes, les valeurs extrêmes de plus en plus rares. On la rencontre partout où un phénomène résulte de la somme de nombreuses petites causes indépendantes.
Forme et paramètres
La courbe est entièrement définie par deux paramètres :
- la moyenne (notée μ), qui fixe la position du sommet ; elle est à la fois la valeur la plus fréquente (mode) et la valeur qui partage la population en deux moitiés (médiane) ;
- l’écart-type (noté σ), qui mesure la dispersion : plus il est grand, plus la cloche est large et aplatie ; plus il est petit, plus elle est étroite et pointue.
Géométriquement, l’écart-type est la distance qui sépare l’axe de symétrie des points d’inflexion, c’est-à-dire des points où la courbe cesse d’être bombée pour devenir creuse. L’aire totale sous la courbe vaut 1, soit 100 % des observations.
La règle des 68-95-99,7
Une propriété rend la courbe de Gauss très utile en pratique : quelle que soit la population, si elle suit une loi normale,
- environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d’un écart-type de la moyenne ;
- environ 95 % à moins de deux écarts-types ;
- environ 99,7 % à moins de trois écarts-types.
C’est sur cette règle que reposent les intervalles de confiance, les limites de contrôle en qualité et la notion de « valeur aberrante ».
Un peu d’histoire
La loi normale apparaît en 1733 chez Abraham de Moivre comme approximation de la loi binomiale. Pierre-Simon de Laplace en développe la théorie et démontre une première version du théorème central limite, qui explique pourquoi tant de phénomènes suivent cette loi. Carl Friedrich Gauss, en 1809, l’utilise pour la théorie des erreurs de mesure en astronomie, d’où le nom qui lui est resté. Au XIXe siècle, Adolphe Quetelet l’applique aux mesures humaines, popularisant l’idée d’« homme moyen ».
À quoi sert-elle ?
En gestion et en contrôle de la qualité, la courbe de Gauss sert à modéliser la dispersion d’une caractéristique de fabrication et à fixer des tolérances ; les méthodes « six sigma » en tirent leur nom. En finance, elle sous-tend de nombreux modèles de rendement et de risque. En sciences humaines, elle décrit la répartition de tailles, de scores ou de notes, et sert à étalonner les tests psychométriques (le quotient intellectuel est construit avec une moyenne de 100 et un écart-type de 15). En statistique inférentielle, grâce au théorème central limite, la moyenne d’un échantillon suffisamment grand suit approximativement une loi normale, ce qui fonde la plupart des tests d’hypothèse.
Limites
Toutes les distributions ne sont pas normales : les revenus, les tailles d’entreprises ou les rendements boursiers en période de crise présentent des queues épaisses et des asymétries que la cloche sous-estime. Appliquer la loi normale sans vérifier qu’elle convient conduit à minimiser la probabilité des événements extrêmes. Avant de l’utiliser, on contrôle donc l’ajustement par un histogramme, un diagramme quantile-quantile ou un test de normalité.
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