Écart-type
L’écart-type est un indicateur de dispersion : il mesure à quel point les valeurs d’une série statistique s’éloignent, en moyenne, de leur moyenne arithmétique. Il est égal à la racine carrée de la variance. On le note habituellement σ (sigma minuscule) pour une population et s pour un échantillon ; on parle aussi d’écart quadratique moyen, et l’anglicisme « déviation standard » (standard deviation) le désigne parfois.
Définition et formule
Pour une population de N valeurs x1, x2, …, xN de moyenne μ, la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : σ² = Σ (xi − μ)² / N, où le symbole Σ (sigma majuscule) désigne la somme. L’écart-type est la racine carrée de cette variance : σ = √σ². Lorsque les données sont regroupées en classes d’effectifs ni, chaque carré d’écart est pondéré par son effectif.
Pour estimer l’écart-type d’une population à partir d’un échantillon de n observations de moyenne x̄, on divise la somme des carrés des écarts par n − 1 au lieu de n : s = √[Σ (xi − x̄)² / (n − 1)]. Cette correction, dite de Bessel, compense la tendance de la formule en n à sous-estimer la variance de la population.
Un exemple simple
Soit les notes 8, 10, 12 et 14. La moyenne vaut 11. Les écarts à la moyenne sont −3, −1, 1 et 3 ; leurs carrés valent 9, 1, 1 et 9, soit une somme de 20. La variance de la série vaut 20 / 4 = 5 et l’écart-type √5, soit environ 2,24 points. Si ces quatre notes sont considérées comme un échantillon et que l’on divise par 3, l’écart-type estimé vaut environ 2,58 points.
Comment l’interpréter
- l’écart-type s’exprime dans la même unité que les données (euros, mètres, points), ce qui le rend plus parlant que la variance ;
- un écart-type faible signifie que les valeurs sont regroupées autour de la moyenne, un écart-type élevé qu’elles sont dispersées ;
- il est sensible aux valeurs extrêmes, puisque les écarts sont élevés au carré ;
- pour une distribution normale, environ 68 % des valeurs se situent à moins d’un écart-type de la moyenne, environ 95 % à moins de deux et environ 99,7 % à moins de trois.
Pour comparer la dispersion de séries dont les moyennes sont très différentes, on utilise plutôt le coefficient de variation, rapport de l’écart-type à la moyenne.
Usages en gestion et en finance
En contrôle de gestion, l’écart-type sert à apprécier la régularité d’une production, d’un délai de livraison ou d’une demande ; il intervient dans le calcul des stocks de sécurité. En finance, l’écart-type des rentabilités d’un titre est la mesure classique de sa volatilité, donc de son risque. En contrôle de la qualité, les cartes de contrôle fixent souvent leurs limites à trois écarts-types de part et d’autre de la valeur visée.
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