Tirage exhaustif
Le tirage exhaustif est une méthode de constitution d’un échantillon dans laquelle chaque élément prélevé dans une population n’y est pas remis avant le tirage suivant. On parle aussi de tirage sans remise. Un même individu ne peut donc figurer qu’une seule fois dans l’échantillon, ce qui correspond à la plupart des enquêtes et des contrôles réels.
Définition
On part d’une population-mère de N éléments, dans laquelle on prélève n éléments pour les observer. Dans un tirage exhaustif, l’élément tiré est mis de côté une fois l’observation faite. La composition de la population restante change donc à chaque tirage, et les tirages successifs ne sont pas indépendants les uns des autres.
Il s’oppose au tirage non exhaustif, ou tirage avec remise, dans lequel chaque élément est replacé dans la population après observation. Les tirages sont alors indépendants et la composition de la population reste identique d’un tirage à l’autre.
Un exemple simple
Une urne contient des boules blanches et des boules noires. Si l’on tire une boule noire sans la remettre, la proportion de boules noires dans l’urne diminue légèrement pour le tirage suivant. Avec remise, la proportion reste la même à chaque tirage. La différence est sensible lorsque l’urne contient peu de boules, et devient négligeable lorsqu’elle en contient beaucoup.
Les lois de probabilité associées
- Le nombre d’éléments possédant un caractère donné dans un échantillon tiré sans remise suit une loi hypergéométrique.
- Dans un tirage avec remise, ce même nombre suit une loi binomiale.
Lorsque la taille de l’échantillon est petite par rapport à celle de la population, les deux lois donnent des résultats très proches. En pratique, on considère souvent que l’approximation par la loi binomiale est acceptable lorsque l’échantillon représente moins d’un dixième de la population.
Le facteur de correction pour population finie
Le tirage exhaustif rend l’estimation un peu plus précise que le tirage avec remise, puisqu’on n’observe jamais deux fois le même élément. Pour l’estimation d’une moyenne, la variance obtenue avec remise est multipliée par le facteur (N − n) / (N − 1). Ce facteur, toujours inférieur à 1, tend vers 1 lorsque la population est très grande devant l’échantillon, et vers 0 lorsque l’on observe presque toute la population.
Applications
- Les sondages d’opinion et les enquêtes statistiques, où l’on n’interroge pas deux fois la même personne.
- Le contrôle de qualité par prélèvement dans un lot de production.
- L’audit comptable, lorsque l’auditeur sélectionne des pièces justificatives à examiner.
Dans tous ces cas, le tirage exhaustif est le mode de prélèvement naturel ; les formules du tirage avec remise ne servent qu’à simplifier les calculs quand la population est assez grande.
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