Variance
La variance est un indicateur de dispersion qui mesure à quel point les valeurs d’une série statistique s’écartent de leur moyenne. Elle est égale à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Plus la variance est grande, plus les valeurs sont dispersées ; une variance nulle signifie que toutes les valeurs sont identiques.
Définition et formule
Pour une série de n valeurs x1, x2, …, xn de moyenne x̄, la variance se calcule ainsi :
V = [(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2] / n
On élève les écarts au carré pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas : la simple somme des écarts à la moyenne est toujours nulle. Une formule équivalente, souvent plus pratique, dit que la variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.
La racine carrée de la variance est l’écart type, noté σ. Il s’exprime dans la même unité que les données (euros, mètres…), ce qui le rend plus facile à interpréter ; la variance, elle, s’exprime dans cette unité élevée au carré.
Un exemple
Prenons les huit valeurs 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 et 9. Leur moyenne est 40 / 8 = 5. Les écarts à la moyenne sont −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 et 4 ; leurs carrés valent 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 et 16, soit une somme de 32. La variance vaut 32 / 8 = 4, et l’écart type 2.
Variance d’une population et d’un échantillon
Lorsque les données forment un échantillon tiré d’une population plus large et que l’on veut estimer la variance de cette population, on divise la somme des carrés des écarts par n − 1 au lieu de n. Cette correction, dite de Bessel, compense le fait que la moyenne de l’échantillon est elle-même calculée à partir des données. Dans l’exemple ci-dessus, on obtiendrait 32 / 7, soit environ 4,57. Les tableurs proposent les deux calculs, sous des noms qui diffèrent selon les logiciels.
Variance d’une variable aléatoire
En probabilités, la variance d’une variable aléatoire X est l’espérance du carré de son écart à son espérance : V(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2) − [E(X)]2. Deux propriétés sont très utilisées :
- V(aX + b) = a2 V(X) : ajouter une constante ne change pas la dispersion, multiplier par a multiplie la variance par a2 ;
- si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y).
Usages en gestion et en finance
La variance sert à mesurer la régularité d’une production en contrôle qualité, la stabilité des ventes d’un mois à l’autre ou le risque d’un placement : en finance, la variance, ou l’écart type, des rentabilités d’un actif est une mesure classique de sa volatilité. Elle est aussi à la base de nombreuses méthodes statistiques, comme l’analyse de la variance (ANOVA) ou la régression. En contrôle de gestion, le mot « variance » est parfois employé, par calque de l’anglais, pour désigner un écart entre prévision et réalisation : il ne faut pas le confondre avec l’indicateur statistique.
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