Variance expliquée
La variance expliquée désigne, dans une régression, la partie de la variance de la variable dépendante que le modèle parvient à reproduire. Elle mesure dans quelle proportion les variations observées s’expliquent par les variables explicatives retenues.
Définition et calcul
Dans une régression, on dispose de n observations de la variable à expliquer, notées yi, de leur moyenne ȳ et des valeurs calculées par le modèle, notées ŷi. La variance expliquée se calcule comme la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs calculées et la moyenne :
Variance expliquée = (1/n) × Σ (ŷi − ȳ)²
Le numérateur s’appelle la somme des carrés expliquée (SCE). Il traduit l’ampleur des variations que le modèle « voit » : si toutes les valeurs calculées étaient égales à la moyenne, le modèle n’expliquerait rien et la variance expliquée serait nulle.
Variance expliquée et variance résiduelle
Dans une régression linéaire par les moindres carrés comportant une constante, la variation totale se décompose exactement :
- SCT, somme des carrés totale : Σ (yi − ȳ)² ;
- SCE, somme des carrés expliquée : Σ (ŷi − ȳ)² ;
- SCR, somme des carrés résiduelle : Σ (yi − ŷi)².
On a SCT = SCE + SCR. La variance totale est donc la somme de la variance expliquée et de la variance résiduelle, qui mesure ce que le modèle laisse de côté.
Le coefficient de détermination R²
Le rapport entre variance expliquée et variance totale définit le coefficient de détermination :
R² = SCE / SCT
Compris entre 0 et 1 dans ce cadre, il s’exprime souvent en pourcentage : un R² de 0,80 signifie que 80 % de la variance de la variable étudiée est expliquée par le modèle. Dans une régression simple, à une seule variable explicative, le R² est égal au carré du coefficient de corrélation linéaire entre les deux variables.
Les limites de l’indicateur
Une variance expliquée élevée ne suffit pas à valider un modèle. Plusieurs précautions s’imposent :
- ajouter des variables fait toujours augmenter, ou au moins ne fait jamais baisser, la variance expliquée, même si ces variables n’ont aucun rapport réel avec le phénomène ; on utilise alors le R² ajusté, qui tient compte du nombre de variables ;
- expliquer n’est pas causer : deux grandeurs qui évoluent ensemble peuvent dépendre d’un troisième facteur commun ;
- un bon ajustement passé ne garantit pas de bonnes prévisions si les conditions changent.
Usages en gestion
En contrôle de gestion et en analyse financière, la variance expliquée sert à juger la qualité d’une régression statistique : relation entre une charge et un volume d’activité pour séparer coûts fixes et coûts variables, lien entre dépenses publicitaires et ventes, ou tendance d’une série de chiffres d’affaires. Plus la part expliquée est grande, plus l’on peut s’appuyer sur la relation obtenue, à condition d’en vérifier la pertinence économique.
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